"Senza soluzione di continuità" nel senso che non deve esserci un cambiamento, un'interruzione tra la prima e la seconda fase. Quest'ultima deve concepirsi come un prolungamento della prima perché "il primo tempo" per così dire è stato ritenuto troppo breve per formarti. 

Ciao Martina,
sì, le proroghe sono ammesse perché il tirocinio può durare fino a un massimo di dodici mesi. Bisogna però fare attenzione. Si parla di "proroga" quando sussistono contemporaneamente tre condizioni: che il soggetto ospitante resti il medesimo, che lo stage prosegua senza soluzione di continuità e che la convenzione di stage con annesso progetto formativo non cambi (cioè che settore di inserimento dello stagista, nominativo del tutor aziendale e percorso formativo restino immutati). La ratio della proroga è che i tre protagonisti dello stage (soggetto promotore, soggetto ospitante e stagista) concordino che per qualche motivo il tempo inizialmente previsto per lo stage non sia stato sufficiente al tirocinante per svolgere appieno il percorso formativo, e vi sia dunque bisogno di altro tempo. Ovviamente, come è facilmente intuibile, questa motivazione talvolta è solo di facciata, e viene usata più o meno onestamente dalle aziende per poter trattenere una risorsa che ritengono valida ma a cui, per ragioni contingenti, non hanno la possibilità di offrire un vero contratto di lavoro. Occhio dunque a questo ultimo aspetto.
Quanto al rimborso spese (da non confondere con la retribuzione, che è invece quella che percepisce un lavoratore vero e proprio), esistono delle soglie minime da rispettare. Ti giriamo la nostra guida Best stage 2015, che raccoglie tutta la normativa suddivisa regione per regione, e dove puoi trovare quanto ti spetta in base alla tua regione di appartenenza: http://www.repubblicadeglistagisti.it/article/best-stage-2015-ai-blocchi-di-partenza. Non si tratta di solito di un'indennità calcolata sulle ore di presenza, ma più in generale di un forfait con cui in qualche modo ripagare le spese sostenute per lo stage e compensare il tuo apporto lavorativo verso l'azienda. La decisione sull'importo la prende l'ente che ti ospita, senza nessun vincolo a parte quello di rispettare il minimo regionale previsto (e sempre che si tratti di un tirocinio extracurriculare, perché per quelli curriculari la normativa non fissa purtroppo l'obbligo di rimborso spese).
Infine, in risposta alla tua domanda sulla possibilità di interrompere lo stage, quello che c'è da sapere è che è sempre possibile sospendere il tirocinio, senza preavviso né motivazione. E a farlo possono essere sia l'ente ospitante che lo stagista.
Speriamo di averti dato una mano a capire meglio, e un caro saluto